Y, hablando de todo un poco, me ha costado bastante poner en marcha la integración de EA Play en PC.
Tras mucho reinstalar y probar cosas, resulta que uno de los requisitos para vincular las cuentas es que ambas utilicen la misma dirección de correo, cosa que yo cumplo porque mi correo de Origin/EA coincide con el de Xbox/Microsoft. Pero por algún motivo, en mi perfil de Xbox aún estaba registrada una dirección de correo antigua que dejé de utilizar como principal hace años.
Al actualizar esa dirección, la app de Xbox ha empezado a funcionar como se espera y en cuanto le he dado a instalar un juego de EA Play me ha lanzado EA Desktop, me ha pedido vincular la cuenta y me ha salido la instalación del juego en EA Desktop.