Bueno, ya lo tengo...
Por suerte el nuevo iPhone es libre y le he podido poner el SIM de Pepephone, es decir el SIM mío personal que usaba hasta ahora.
Como decis, desde Whatsapp, se puede hacer un backup de los chats. Lo que no se puede es restaurarlos.
Para ello, he tenido que desistalar WhatsApp en el nuevo teléfono. Ponerle el SIM de Pepephone, como decía, instalar WhatsApp y ahora me ha preguntado si quiero restaurar los chats, lo cual ha hecho en cuestión de segundos.
Ahora solo he tenido que cambiar el SIM para dejar la SIM definitiva y WhatsApp me ha detectado el cambio de numero sin problemas.
Ahora ya tengo el teléfono nuevo, con todos los chats del antiguo y con el numero nuevo.